Lineare Gleichungssysteme sind eine Anwendung der linearen Algebra und bestehen aus mehreren linearen Gleichungen. Diese sind dadurch definiert, dass die Unbekannten in ihnen ca. in der ersten Potenz - also linear - stehen und die Konstanten beispielsweise reelle Zahlen sind. In dem einfachsten Fall ist also ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen und n Unbekannten soetwas wie:

Dabei werden die Koeffizienten a_ij zu einer Matrix A, die Unbekannten x_i zu einem Vektor x und die rechte Seite bestehend aus b_j zu einem Vektor b zusammengefasst.

Damit ergibt sich die allgemeine Form des linearen Gleichungssystems:

mit , und

Ein Vater und ein Sohn sind zusammen 62 Jahre alt. Vor sechs Jahren war der Vater viermal so alt wie der Sohn. Wie alt ist jeder?

Gesetzt das Alter des Vater sei x und das Alter des Sohnes y. So gilt

(1) x + y = 62
(2) x - 6 = 4 * (y -6)

Es ergibt sich also ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.

Formt man (1) durch Subtraktion von x zu

(1') y = 62 - x

um und setzt dies in (2) ein, so folgt

x - 6 = 4 * (62 - x - 6) | Faktoren in der Klammer zusammenfassen
x - 6 = 4 * (56 - x)     | Klammer ausmultiplizieren
x - 6 = 224 - 4x         | + 4x + 6
5x    = 230              | : 5
x     = 46

setzt man dieses Ergebnis in (1') ein so folgt dann

y = 62 - 46
y = 16

Also ist der Vater 46 Jahre und der Sohn 16 Jahre alt, zusammen also 62 Jahre. Vor sechs Jahren waren der Vater 40 Jahre und der Sohn 10 Jahre alt, der Vater also viermal so alt wie der Sohn.

mit , und ist abhĂ€ngig von n, m, den Koeffizienten A und der rechten Seite b nicht stets lösbar oder hat eine eindeutige Lösung. In dem Prinzip ist jede der m Gleichungen eine Information ĂŒber die n Unbekannten. Sind zu wenig Informationen vorhanden, können natĂŒrlich nicht alle Lösungen bestimmt werden - man spricht hierbei von einem unterbestimmten Gleichungssystem. Auf der anderen Seite kann ab und zu keine Lösung vorhanden sein, wenn zu viele (sich gegenseitig widersprechende) Informationen vorhanden sind - man sagt ein ĂŒberbestimmtes Gleichungssystem.

Beispielsweise hat x₁ + x₂ = 1 unendlich viele Lösungen, nĂ€mlich abhĂ€ngig von x₁ löst jedes x₂ = 1 - x₁ diese Gleichung. Das Gleichungssystem aus den beiden Gleichungen x₁ = 1 und x₁ = 2 hat hingegen keine Lösung, da x₁ nicht gleichzeitig beide Gleichungen erfĂŒllen kann - es kann ja ca. entweder 1 oder 2 sein.

Das Gleichungssystem ist exakt dann lösbar, wenn der Rang der Matrix A gleich dem Rang der erweiterten Matrix (A | b) ist.

Dabei ist die erweiterten Matrix .

Eindeutig lösbar ist , wenn die Anzahl der Unbekannten n gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist.

Nachdem Zeilenrang gleich Spaltenrang bei einer Matrix gilt, ist ein ĂŒberbestimmtes, lineares Gleichungssystem also trotzdem lösbar, wenn durch Hinzunahme der rechten Seite in die Matrix A zu (A | b) keine VergrĂ¶ĂŸerung des Ranges stattfindet. In diesem Fall sind die Gleichungen linear abhĂ€ngig und die Information der Gleichungen also redundant. Wenn die Anzahl linear unbhĂ€ngigen Gleichungen, der Rang der erweiterten Matrix oder auch die Anzahl der unabhĂ€ngigen Informationen gleich der Anzahl Unbekannter ist, existiert also exakt eine Lösung. Gibt es weniger Unbekannte, so sind diese nicht eindeutig bestimmbar.

Die Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen unterteilt man in iterative und direkte Verfahren. Beispiele fĂŒr direkte Verfahren sind das Gaußsches Eliminationsverfahren und die Cramersche Regel.

• Toeplitz-Matrix
• Liste numerischer Verfahren#Lineare Gleichungssysteme